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t等价无穷小

当x→0,且x≠0,则x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;x--ln(1+x)--(e^x-1);(1-cosx)--x*x/2;[(1+x)^n-1]--nx;ln(1+x)--x ex-1--x loga(1+x)--x/lna;

当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1 (a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna) (e^x)-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x loga(1+x)~x/lna (1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换)

在任何一个极限过程中,如果lim (A/B)=C,C是常数,那么就说A和B是同阶无穷小,如果lim(A/B)=1,那么就说A和B是等价无穷小.等价无穷小可以看做是同阶无穷小的一种特殊情况,但等价无穷小有更深的意义,那就是做极限时,如果是商或积,和或差有时也可以,但不是所有情况都对,那么就可以把函数替换成它的等价无穷小,有时两个函数是等价无穷小,但形式相差很远,如当x趋向于0时sinx和x

1、e^x-1~x (x→0)2、 e^(x^2)-1~x^2 (x→0)3、1-cosx~1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)~1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~

求极限时使用等价无穷小的条件:1、被代换的量,在去极限的时候极限值为0.2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以.无穷小就是以数零为极限的变量.然而常量是变量的特殊一类,就像直线属于曲线的一种.确切地说,当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0,则称f(x)为当x→x0时的无穷小量.

前提是t->0 只要证明limln(t+1)/t=1 显然直接用洛必达法则就可以 lim ln(t+1)/t=lim1/(t+1)=1 或者直接展开ln(1+t)都可以

解:当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(1/x)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量.根据上述定义,当limf(x)/g(x)=1时,则f(x)与g(x)是等价无穷小.因此:根据上述定义:1)等价无穷小一定要首先趋近于0,这趋近的主体不一定是自变量,是因变量也是成立的;2)等价无穷小替换必然是在整体极限存在的情况下,而不能是党极限不存在时,就不能用等价不穷小,例如:lim(x→0) [sin(1/x) / x],该极限中,sin(1/x)极限是不存在的,况且,1/x在自变量趋近于0时,它不趋近于0,更就不能等价无穷小替换了!

楼上的在说些什么东西你可以设它的等价无穷小为f(x) 因为等价无穷小,所以 lim (x→0) ∫(x,0) sint2/t dt/f(x)=1 lim ∫(x,0) sint2/t dt=f(x) 两边求导 lim sinx2/x=f'(x) sinx2~x2 lim x2/x=f'(x) lim x=f'(x) 两边同时积分 f(x)=x2/2+C 因为无穷小是要求x→0时,f(0)=0 所以C=0 也就是f(x)=x2/2 你可能会问为什么sinx2~x2 lim sinx2/x2 洛必达法则 =lim 2xcosx2/2x =lim cosx2 =cos0 =1 所以两者是等价无穷小

下面来介绍等价无穷小: 从无穷小的比较里可以知道,如果lim b/a^n=常数,就说b是a的n阶的无穷小, b和a^n是同阶无穷小.特殊地,如果这个常数是1,且n=1,即lim b/a=1,则称a和b是等价无穷小的关系,记作a~b 等价无穷小在求极限时有重要应用,我们有如下定理:假设lim a~a'、b~b'则:lim a/b=lim a'/b' 现在我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3) 根据上述定理 当x→0时 sin(x)~x (重要极限一) x+3~x+3 ,那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0

这是高数中的 一般用来求解极限 比如 当x趋近于零时,sinx 和x 就是 那么当遇到sinx 比上x时 比值直接等于1 这些等价无穷小是要记住的

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